TP : implanter la fonction exponentielle (2/5)

Partie 2 : calculer une somme infinie?¶

La définition mathématique de l’exponentielle suppose de calculer une somme infinie. Ce n’est pas possible en pratique! On propose donc d’implanter la fonction suivante qui calcule une approximation de la fonction exponentielle obtenue en tronquant la somme à un certain rang $r$ : $e^x \approx \sum_{n=0}^r \frac{x^n}{n!}$

Copier-collez dans les deux cellules suivantes vos fonctions puissance et factorielle de la partie 1, puis complétez l’implantation de la fonction expRang et vérifiez qu’elle passe les tests fournis.

### BEGIN SOLUTION
def factorielle(n):
    r = 1
    for i in range(1, n + 1):  # (int i = 1; i <= n; i++) {
        r = i * r
    return r


### END SOLUTION

### BEGIN SOLUTION
def puissance(x, n):
    r = 1
    for i in range(n):  # (int i = 0; i < n; i++) {
        r = r * x
    return r


### END SOLUTION

def expRang(x, r):
    """Exponentielle tronquée à un certain rang r
    Paramètre x : un nombre à virgule flottante en double précision
    Paramètre r :  un nombre entier positif
    Renvoie 1 + x^1/1!  + x^2/2! + x^3/3! + ...  + x^r/r!
    """
    ### BEGIN SOLUTION
    e = 0
    for i in range(r + 1):  # (int i=0; i <= r; i++)
        e += puissance(x, i) / factorielle(i)
    return e
    ### END SOLUTION

expRang(5, 1)

assert expRang(6, 0) == 1  # 6^0/1
assert expRang(6, 1) == 7  # 6^0/1 + 6/1
assert expRang(6, 2) == 25  # 6^0/1 + 6/1 + 36/2
assert expRang(6, 3) == 61  # 6^0/1 + 6/1 + 36/2 + 36*6/6

Plus on augmente le rang, plus on se rapproche de la valeur de $e^6=403,429\cdots$.

Dans la cellule ci-dessous, utilisez votre fonction expRang pour calculer une approximation de $e^{6}$ au rang 10, puis augmentez le rang jusqu’à ce que la valeur affichée ne change plus (la valeur ajoutée est trop petite pour changer l’affichage).

### BEGIN SOLUTION
expRang(6, 24)
### END SOLUTION

Calculez maintenant une approximation de la valeur de $e^{10}=22026,46\cdots$ avec le même rang :

### BEGIN SOLUTION
expRang(10, 22)
### END SOLUTION

Que constatez vous?

BEGIN SOLUTION

La précision est bien moins bonne que l’exemple de $e^6$ malgré l’utilisation du même rang. Le rang nécessaire pour obtenir une bonne précision dépend donc du réel $x$ pour lequel on veut calculer $e^x$.

END SOLUTION

Augmentez le rang jusqu’à ce que la valeur affichée ne change plus :

### BEGIN SOLUTION
expRang(10, 32)
### END SOLUTION

Bilan de la partie 2¶

Bravo, vous avez implanté une approximation de la fonction exponentielle en tronquant sa formule à un certain rang. Cependant, au vu des exemples ci-dessus, l’utilisateur souhaiterait spécifier non pas le rang, mais la précision qu’il souhaite obtenir. Pour cela il faut d’abord formaliser cette idée de précision. C’est l’objet de la partie 3.